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随机向量入门基础知识

来源:有备基础网 2024-06-10 11:31:37

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随机向量入门基础知识(1)

随机向量是指由一组随机变量组成向量,是概率论和统计重要概念Row。在机习、数据挖掘、信号处理领域中,随机向量被广泛应用。本介绍随机向量基础知识,包括定义、特征、分布、协方差矩阵

一、定义

随机向量是由多个随机变量组成向量,每个随机变量都是随机向量一个分量。例如,一个二维随机向量可以表示$(X,Y)$,其中$X$和$Y$都是随机变量有.备.基.础.网。随机向量可以表示列向量或行向量,例如:

$$\boldsymbol{X}=\begin{pmatrix}X_1\\X_2\\ \vdots\\ X_n\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}X_1&X_2& \cdots& X_n\end{pmatrix}^T$$

  其中,$X_i$是随机向量$\boldsymbol{X}$第$i$个分量。

随机向量入门基础知识(2)

二、特征

  随机向量特征包括均值、方差和协方差矩阵

  均值:随机向量均值是各个分量均值向量,

  $$\boldsymbol{\mu}=\operatorname{E}[\boldsymbol{X}]=\begin{pmatrix}\operatorname{E}[X_1]\\\operatorname{E}[X_2]\\ \vdots\\\operatorname{E}[X_n]\end{pmatrix}$$

  方差:随机向量方差是各个分量方差向量,

$$\boldsymbol{\Sigma}=\operatorname{Var}[\boldsymbol{X}]=\begin{pmatrix}\operatorname{Var}[X_1]&\operatorname{Cov}[X_1,X_2]& \cdots& \operatorname{Cov}[X_1,X_n]\\ \operatorname{Cov}[X_2,X_1]&\operatorname{Var}[X_2]& \cdots& \operatorname{Cov}[X_2,X_n]\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ \operatorname{Cov}[X_n,X_1]&\operatorname{Cov}[X_n,X_2]& \cdots& \operatorname{Var}[X_n]\end{pmatrix}$$

其中,$\operatorname{Cov}[X_i,X_j]$表示$X_i$和$X_j$协方差。

  协方差矩阵:随机向量协方差矩阵是各个分量之间协方差构成矩阵,

  $$\boldsymbol{\Sigma}=\begin{pmatrix}\operatorname{Cov}[X_1,X_1]&\operatorname{Cov}[X_1,X_2]& \cdots& \operatorname{Cov}[X_1,X_n]\\ \operatorname{Cov}[X_2,X_1]&\operatorname{Cov}[X_2,X_2]& \cdots& \operatorname{Cov}[X_2,X_n]\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ \operatorname{Cov}[X_n,X_1]&\operatorname{Cov}[X_n,X_2]& \cdots& \operatorname{Cov}[X_n,X_n]\end{pmatrix}$$

三、分布

随机向量分布可以用联合分布函数或密度函数来描述www.azjthw.com有备基础网。常见随机向量分布包括正态分布、多元正态分布、均匀分布、指数分布

  多元正态分布是指各个分量服从正态分布随机向量,其概率密度函数

$$f(\boldsymbol{x})=\frac{1}{(2\pi)^{n/2}|\boldsymbol{\Sigma}|^{1/2}}\exp\left(-\frac{1}{2}(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{\mu})^T\boldsymbol{\Sigma}^{-1}(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{\mu})\right)$$

  其中,$n$是随机向量维度,$\boldsymbol{\mu}$和$\boldsymbol{\Sigma}$分别是随机向量均值和协方差矩阵。

随机向量入门基础知识(3)

四、协方差矩阵

协方差矩阵是随机向量重要特征之一,它描述了各个分量之间相关和方差大小。协方差矩阵是一个对称矩阵,且半正定有+备+基+础+网。如果随机向量各个分量相互独立,则协方差矩阵是一个对角矩阵。

  协方差矩阵特征值和特征向量可以用于随机向量降维和特征提取。例如,主成分分析(PCA)就是一种基于协方差矩阵降维方法,它可以高维随机向量映射到低维空间,同时留最大方差。

总结

  随机向量是由多个随机变量组成向量,它特征包括均值、方差和协方差矩阵azjthw.com。随机向量分布可以用联合分布函数或密度函数来描述,常见随机向量分布包括正态分布、多元正态分布、均匀分布、指数分布。协方差矩阵是随机向量重要特征之一,它描述了各个分量之间相关和方差大小,可以用于随机向量降维和特征提取。

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